Sobre el momento exacto en que llegó el Balrog: en el Apéndice A, de ESDLA, en la sección III 'El Pueblo de Durin' dice:

"Por entonces los Enanos cavaban muy hondo bajo Barazimbar en busca de mithril, el metal inapreciable que año a año era más difícil de encontrar. De ese modo despertaron del sueño a una criatura espantada que había huído de Thangorodrim y yadía oculta en los cimientos de la tierra desde la llegada de la Hueste del Occidente: un Balrgo de Morgoth."

Apéndice A - Apéndices de ESDLA

Así que el Balrog huyó de Thangorodrim antes de su destrucción, cuando los Valar llegaron a la Tierra Media.

Sobre como se desplazó el Balrog desde Thangorodrim a los cimientos de la tierra debajo de Moria, puede ser que fuese bajo tierra, por el sigueinte motivo:

cuando Gandalf y el Balrog caen desde el puente, y llegan al estanque, sí que se habla de grandes túneles muy por debajo de la tierra, en 'El Caballero Blanco' en 'Las Dos Torres' dice Gandalf:

"Luchamos allá lejos bajo la tierra viviente, donde no hay cuenta del tiempo. El me aferraba con fuerza y yo lo acuchillaba, hasta que por último él huyó por unos túneles oscuros. No fueron construidos por la gente de Durin, Gimli hijo de Glóin. Abajo, más abajo que las más profundas moradas de los enanos, unas criaturas sin nombre roen el mundo. Ni siquiera Sauron las conoce. Son más viejas que él. Recorrí esos caminos pero nada diré que oscurezca la luz del día.En aquella desesperanza, mi enemigo era la única salvación y fui detrás de él, pisándole los talones. Terminó por fin por llevarme a los caminos secretos de Khazad-dûm: demasiado bien los conocía."

El Caballero Blanco - Las Dos Torres - ESDLA

Así que hay túneles tan extensos debajo de la tierra que Gandalf, para no perderse tiene que pegarse al Balrog y seguirle. Por lo que no encuentro descabellado que algunos de estos túneles conectasen con Thangorodrim en la antiguedad.

Y además, en 'el Ambarkanta', en 'La Formación de la Tierra Media', sí que se da la idea de que bajo la superficie, la tierra es como una especie de gruyere, lleno de grutas y túneles, al menos mientras el mundo era plano, antes de la Caída de Númenor:

"Sin embargo, hay un abismo que separa a Valinor de Vaiya, y está lleno de Ilmen, y por ese camino se puede llegar desde Ilmen sobre la tierra a las regiones más bajas, y a las Raíces de la Tierra, y a las cuevas y grutas que son los cimientos de las tierras y los mares. Allí está la morada de Ulmo.
(...)
En las regiones de Ulmo, las estrellas se esconden a veces, y la Luna vaga a menudo y no se vé desde la Tierra Media. Pero el Sol no se demora allí. Pasa bajo la tierra deprisa, para que la noche no se prolongue y el mal no se refuerce; y los servidores de Ulmo la arrastran a través del bajo Vaiya, que recibe calor y se llena de vida."

Ambarkanta - La Formación de la Tierra Media

Espero que todo esto te sirva de algo

Saludos desde altamar