la respuesta esta en los libros...

En el capítulo "La Sombra del Pasado" de "La comunidad del anillo", se explica este asunto.
Gandalf le cuenta a Frodo como Gollum abandona su agujero en las montañas para buscar a Bilbo y a "su tersssoro". Consigue seguir la pista hasta Esgaroth y allí oyó hablar de la Comarca, de donde Bilbo procedía (lee "El Hobbit"). De allí fue vagando, digamoslo así, y acabó en Mordor, buscando aliados "enemigos del Oeste" que le ayudarían en su venganza. Pero fué capturado e interrogado y así es como Sauron supo de lo mismo que Gollum sabía.
En definitiva Sauron no supo que Gollum tuvo el anillo hasta que el propio Gollum se lo dijo.

Saludos.