pues yo lo veo al revés..

el ojo aparece cuando el anillo es poseido por alguien que supone una una amenaza real para Sauron. El señor oscuro teme lo que podría hacer Gandalf de poseer el anillo, al igual que temería al anillo en manos de Aragorn. Mientras que en manos de Bilbo o de Frodo no supone ninguna amenaza, porque ni siquiera saben del verdadero poder del anillo. De hecho creo que en la peli, Frodo, como portador del anillo empieza a ver el ojo, no después de que Gandalf le explique lo que es el anillo único, sino cuando ya está comprometido en la misión de destru ir el anillo y Sauron ve que está camino y decidido a conseguirlo ( creo que lo vio por primera vez en Amon Hen, cuando está huyendo de Boromir que le quiere quitar el anillo).
un saludo.