Bueno... no creo que Tolkien haya respondido una pregunta tan específica... lo que sí es cierto que el látigo es un arma, y no una parte del balrog... de hecho, la batalla entre el balrog y Gandalf en la película es de lo más respetuoso con el libro... sacando primero la espada y luego, solamente al final, el látigo. Pero, personalmente, yo creo que el fuego al látigo se lo da el poder del balrog...que es sombra y fuego, así que dudo que un trozo de látigo siguiera manteniendo su poder.
Saludos