Pues cuando Bilbo tuvo el anillo, Sauron lo creía perdido ,por lo caul no tuvo ninguna repercusión de ese tipo en Bilbo, si no sólo lo que sabemos.En palabras de Gandalf :

Este es el terrible peligro, Frodo. Creyó que el Unico había sido destruido, que los
elfos lo habían destruido, como tendría que haber sucedido en realidad. Ahora sabe que
no fue así y que lo encontraron hace un tiempo. Así que no hace otra cosa que buscarlo
y buscarlo, incesantemente. Vive de esa esperanza y esa esperanza es nuestro temor.

Entonces cuando el anillo pasa a Frodo, Sauron ha puesto toda su energía en él, y lo único que anhela es recuperarlo, además que el anillo también anhela llegar a su dueño.


Saludos