Mi opinión es que en realidad se hace solo invisible a nuestos ojos pero lo que hace es pasar a un estado existencial distinto. Si solo fuese invisibilidad Frodo seguiria viendo (si eso fuese posible, claro) y sintiendo de la misma forma pero en la propia película se ve como al ponerse el anillo la percepción de Frodo se ve alterada, ve y siente cosas diferentes aún estando en el mismo lugar, ve la "otra y verdadera" cara de los Nazgull, percibe al Señor Oscuro con claridad y reciprocidad por lo visto. Sería algo así como una dimensión paralela desde la cual se puede percibir esta pero incluye mas cosas. Algo así como los espíritus que nos rodean que nos ven pero nosotros a ellos no.
Respecto a lo de las ropas y que mientras que Sam lo cogió a Aragorn se le escapó... habría una explicación plausible a eso. Tened en cuenta que no hablamos de un anillo de invisibilidad como ya he dicho, sino del anillo unico con un poder que hasta el propio Gandalf teme. ¿Acaso no puede ser todo eso manifestaciones del poder del anillo usado por Frodo? Mexplico:
Lo de la ropa: Se vuelve invisible con Frodo puesto que uno normalmente siente a su ropa parte de si mismo, va con uno y todas esas cosas pero una mesa si la percibimos como ajena, por ejemplo.
Lo de que Sam le coja y a Aragorn se le escape (si hacemos como que no lo suelta el mismo por la impresión): seguramente Frodo deseaba coger a Sam para salvarlo de morir ahogado mientras que al ponerselo cuando Aragorn lo tenía cogido (no recuerdo la escena) seguramente sentía deseos de escapar de algo.
Y el anillo da poder para eso y mas. En el fondo Frodo lo usaba de forma inconsciente pero instintiva, el anillo respondía a sus necesidades y sentimientos de alguna forma.
Ala, se admiten réplicas pero creo que es una buena explicación a todas esas cosas.