Lo que yo entiendo

Es que, aunque esté enamorado de Arwen, Éowyn no la deja indiferente. Un par de citas (esto de las citas me lo estáis pegando... :P):


"-No eres avaro por cierto, Éomer-dijo Aragorn-al dar así a Gondor lo más hermoso de tu reino.
Entonces Éowyn miró a los ojos a Aragorn y dijo:
-¡Deseadme ventura, mi Señor y Curador!
Y él respondió:
-Siempre te deseé ventura desde el día en que te conocí. Y verte ahora feliz cura una herida en mi corazón." Numerosas Separaciones, ERDR

"-[...] Fue un destino nefasto el que la llevó a él. Pues es una hermosa doncella, la dama más hermosa de toda una estirpe de reinas, Y sin embargo no encuentro palabras para hablar de ella. Cuando la vi por primera vez y adiviné su profunda tristeza, me pareció estar contemplando una flor blanca, orgullosa y enhiesta, delicada como un lirio; y sin embargo supe que era inflexible, como forjada en duro acero en las fraguas de los Elfos. ¿O acaso una escarcha le había helado ya la savia, y por eso era así, dulce y amarga a la vez, hermosa aún pero ya herida, destinada a caer y morir? El mal empezó mucho antes de este día, ¿no es verdad, Éomer?
-Me asombra que tú me lo preguntes, Señor-repondió Éomer- Porque en este asunto, como en todo lo demás, te considero libre de culpas; más nunca supe que frío alguno haya herido a Éowyn, mi hermana, hasta el día en que posó los ojos en ti por vez primera.
[...]
-También yo vi lo que tú viste, Éomer. Pocos dolores entre los infortunios de este mundo amargan y avergüenzan tanto a un hombre como ver el amor de una dama tan hermosa y valiente y no poder corresponderle. La tristeza y la piedad no se han separado de mí ni un solo instante desde que la dejé, desesperada en el Sagrario, y cabalgué a los Senderos de los Muertos; y a lo largo de ese camino, ningún temor estuvo en mí tan presente como el temor de lo que a ella pudiera pasarle."Las Casas de Curación, ERDR

Quizás el párrafo más aclarante sea el último. No la deja indiferente, le duele Éowyn, pero tampoco la ama como para dejar a Arwen por ella.