Frodo morirá en Valinor, simplemente porque es un mortal y lo único que le cede Arwen es su "pasaje" en el barco.
Yo te haré un regalo. Porque soy la hija de Elrond. No partiré con él cuando se encamine a los Puertos porque mi elección es la de Lúthien, y como ella he elegido a la vez lo dulce y lo amargo. Pero tú podrás partir en mi lugar, Portador del Anillo, si cuando llegue la hora ése es tu deseo. Si los daños aún te duelen, y si la carga aún te pesa en la memoria, podrás cruzar al Oeste, hasta que todas tus heridas y pesares hayan cicatrizado. Pero ahora lleva esto en recuerdo de Piedra de Elfo y de Estrella de la Tarde, que ya siempre serán parte de tu vida.

La recompensa que obtiene Frodo por llevar el Anillo y su destrucción es ir a las Tierras Imperecederas, donde sus heridas sanarán, pero morir, morirá, pues sólo uno de los mortales fue contados entre los elfos, por lo tanto entre los que vivirán hasta el fin de las edades y no es Frodo ni Bilbo, sino Tuor, Pero en días posteriores se cantó que sólo Tuor, entre los Hombres mortales, llegó a ser miembro de la raza mayor, y se unió con los Noldor, a quienes amaba; y su destino quedó separado del destino de los Hombres. Porque piensa que Frodo es un hobbit y los hobbits, son mortales... porque no dejan de ser parientes muy próximos de los Hombres, por no decir que lo son, como bien explica esta FAQ

http://www.elfenomeno.com/tolkien/faq/ver_faq.php?id=18

Desde la oficina siniestra de Mordor

(Mensaje original de: elf-moon)