Cierto en parte. Vamos a ver: en la película Frodo no tiene pruebas de la persecución de Gollum salvo en Moria. Gollum vuelve a aparecer antes de Las Dos Torres en el viaje a través del Anduin de la Compañía, pero sólo (creo) es visto por Aragorn y Boromir (Versión Extendida de La Comunidad del Anillo).
No sé lo que le pasaba por la cabeza a Jackson, Walsh o Boyens para hacer exclamar a Frodo "¡No estamos solos!" pero en el libro Frodo es consciente de esta persecución hasta que finalmente lo atrapan:

En los límites de Lórien:
[quote]No eran elfos, pues la gente de los bosques no hacía ningún ruido al moverse. Luego oyó débilmente un sonido, como si husmearan, y le pareció que algo estaba arañando la corteza del árbol. Clavó los ojos en la oscuridad, reteniendo el aliento.
Algo trepaba ahora lentamente y se lo oía respirar, como si siseara con los dientes apretados. Luego Frodo vio dos ojos pálidos que subían, junto al tronco. Se detuvieron y miraron hacia arriba, sin parpadear. De pronto se volvieron y una figura indistinta bajó deslizándose por el tronco y desapareció.

ESDLA, II, 6
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En la película supongo que se optó por eliminar este fragmento y ubicar el primer "encuentro" de Frodo y Gollum en Moria para así (de paso) poder poner la trascendental conversación con Gandalf (en lugar de en Bolsón Cerrado) acerca del derecho a dar la muerte a otro y el esbozo (profético) del posible papel del señor Gollum en la historia.

En el Anduin:
[quote] En plena noche, Frodo salió de un sueño profundo y sombrío y descubrió que Sam estaba sacudiéndolo.
-Es una vergüenza despertarlo -dijo Sam en voz baja-, pero usted me lo pidió. No hay nada nuevo, o no mucho. Creí oír unos chapoteos y la respiración de alguien, hace un momento; pero de noche y en un río se oyen muchos sonidos raros.
Sam se acostó y Frodo se sentó envuelto en las mantas, luchando contra el sueño. Los minutos o las horas pasaron lentamente y nada ocurrió. Frodo estaba ya cediendo a la tentación de acostarse de nuevo cuando una forma oscura, apenas visible, flotó muy cerca de una de las barcas. Una mano larga y blanquecina asomó pálidamente y se aferró a la borda; dos ojos claros brillaron fríamente como linternas mientras miraban dentro del bote y luego se alzaron posándose en Frodo. No se encontraban a más de unos dos metros de distancia y Frodo alcanzó a oír que la criatura tomaba aliento, siseando. Se incorporó, sacando a Dardo de la vaina y se enfrentó a los ojos. La luz se extinguió en seguida. Se oyó otro siseo y un chapoteo y la oscura forma de leño se precipitó aguas abajo en la noche. Aragorn se movió en sueños, dio media vuelta y se sentó.
-¿Qué pasa? -murmuró, incorporándose de un salto y acercándose a Frodo-. Sentí algo en sueños. ¿Por qué sacaste la espada?
-Gollum -respondió Frodo-, o al menos así me pareció.
-¡Ah! -dijo Aragorn-. ¿Así que conoces a nuestro pequeño salteador de caminos? Vino detrás de nosotros mientras cruzábamos Moria y bajó hasta Nimrodel. Desde que tomamos los botes nos sigue tendido de bruces sobre un leño y remando con pies y manos. Traté de atraparlo una o dos veces de noche, pero es más astuto que un zorro y resbaladizo como un pez. Yo esperaba que el viaje por el río acabaría con él, pero es una criatura acostumbrada al agua y demasiado hábil.

ESDLA, II, 9
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Y en Emyn Muil:
[quote]-¿Los ha vuelto a ver, señor Frodo? -preguntó Sam, cuando estuvieron sentados, ateridos de frío, mascando lembas a la luz yerta y gris del amanecer.
-No -dijo Frodo-, no he oído ni visto nada desde hace dos noches.
-Yo tampoco -dijo Sam-. ¡Grrr! Esos ojos me helaron la sangre. Tal vez hayamos conseguido despistarlo, a ese miserable fisgón. ¡Gollum! Gollum le voy a dar yo en el gaznate si algún día le pongo las manos encima.
-Espero que ya no sea necesario -dijo Frodo-. No sé cómo habrá hecho para seguirnos; pero es posible que haya vuelto a perder el rastro, como tú dices. En esta región seca y desierta no podemos dejar muchas huellas, ni olores, ni aún para esa nariz husmeadora.
-Ojalá sea como usted dice -dijo Sam-. ¡Ojalá nos libráramos de él para siempre!

ESDLA, IV, 1
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Espero que te sirva y saludos desde Tejonera.