Me parece que das por sentado lo que no tiene por qué:que el Balrog estuviera al servicio de Sauron, y que estuviera interesado en los Anillos.
Personalmente no creo que el Balrog estuviera al servicio de Sauron, pues de haber sido así lo habría empleado con asiduidad como su mejor y más terrible arma. Evidentemente no fue así. Tampoco con Shelob.
Si hubiera sido el Anillo de Durin lo que le atrajo, seguramente habría ido a por él sin problemas, y se habría apropiado de él. Creo que, como se apunta, fue despertado por cavar demasiado hondo, y que el paso de la Compañía se hizo involuntariamente evidente a todos: orcos y Balrog. El Balrog ni siquiera tenía por qué saber de la existencia de los Anillos ni estar interesado en su posible utilidad.
Creo que el Balrog sirvió a Morgoth, y sólo a él, y cuando fue éste derrotado simplemente desapareció hasta que lo despertaron. Sauron sabría de su existencia con seguridad, y quizás le habría mandado mensajes a los que posiblemente el Balrog habría hecho caso omiso, o quizás ni siquiera se molestó sabiendo de su independencia, quizás; en cualquier caso el resultado fue aparentemente ese. Y seguramente se habría acabado poniendo al servicio de Sauron de habérselo propuesto Sauron, y de haber sido necesario, pero me inclino a pensar que únicamente estaba a su propio servicio, y que a Sauron sencillamente le venía bien que controlara Moria, como le venía bien que Shelob, su independiente "gatita", controlara el paso de Cirith Ungol.